收敛的条件

充要条件

级数$\displaystyle\sum{n=1}^{\infty}z_n$收敛的充要条件是$\displaystyle\sum{n=1}^{\infty}xn$和$\displaystyle\sum{n=1}^{\infty}y_n$都收敛

必要条件

级数$\displaystyle\sum{n=1}^{\infty}z_n$收敛的必要条件是$\displaystyle\lim{n \to \infty}z_n=0$

两种判别法

比值判别法

若$\displaystyle\lim{n \to \infty}\lvert \dfrac{C{n+1}}{Cn}\rvert=\lambda$，则$\displaystyle\sum{n=1}^{\infty}C_n(z-z_0)^n$的收敛半径$R=\dfrac{1}{\lambda}$

根值判别法

设$\displaystyle \lim{n \to \infty}\sqrt[n]{\lvert C_n\rvert}=\lambda$,则级数$\displaystyle\sum{n=1}^{\infty}C_n(z-z_0)^n$的收敛半径为$R=\dfrac{1}{\lambda}$

泰勒级数

泰勒定理

设函数$f(z)$在区域$D$内解析，$z_0$为$D$内的一点，$R$为$z_0$ 到$D$的边界上各点的最短距离，则当$\lvert z-z_0 \rvert <R$时，$f(z)$可以展开为幂级数：

$\displaystyle f(z)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}C_n(z-z_0)^n$

其中$C_n=\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(z_0) ,n=0,1,2,\cdots$

解析性和幂级数

函数在一点解析的充要条件是它在这一点的邻域内可以展开为幂级数。

若干函数的麦克劳林展开

三角函数

$\displaystyle \sin z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \qquad\lvert z\rvert<+\infty$

余弦函数

$\displaystyle \cos z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}\qquad\lvert z\rvert<+\infty$

$\displaystyle \dfrac{1}{1-z}$和$\displaystyle \dfrac{1}{1+z}$

$\displaystyle \dfrac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n\qquad \lvert z\rvert<+\infty$ $\displaystyle \dfrac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^n\qquad \lvert z\rvert<+\infty$

指数函数

$\displaystyle \mathrm{e}^z=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^n}{n!}\qquad \lvert z\rvert<+\infty$

对数函数

$\displaystyle \ln(1+z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{z^{n+1}}{n+1}\qquad \lvert z\rvert<1$

阿贝尔定理

和实变函数中的定理基本一致。

洛朗级数

罗朗定理

设函数$f(z)$在圆环域$R_1<\lvert z-z_0\rvert<R_2 $内处处解析，则$f(z)$一定可以在此圆环域中展开为：

$\displaystyle f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n(z-z_0)^n$

其中

$\displaystyle C_n=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \qquad n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$

解析的等价条件总结

函数$f(z)$在区域$D$内可导；
$u、v$在区域$D$内可微，且满足$C-R$条件；
函数$f(z)$在区域D内连续，且积分与路径无关(Merera定理)；
函数$f(z)$在区域$D$内可以展开为幂级数。

例题

把函数$\dfrac{1}{(1+z)^2}$级数展开成$z$的幂级数。

利用$-\dfrac{1}{1+z}$的导数是$\dfrac{1}{(1+z)^2}$，而$-\dfrac{1}{1+z}$展开显然可以。

补充知识

$\cos(in)=\cosh(n)$
$\sin(n)=-\sinh(n)$

\cdots
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\lvert \dfrac{C_{n+1}}{C_n}\rvert=\lambda
\sqrt[n]{\lvert C_n\rvert}4
\qquad\lvert z\rvert<+\infty
n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots