复变函数chap3——复积分

• 复积分的定义和计算

  • 定义

  $$\int_C f(z)\mathrm{d}z=\displaystyle \lim_{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^n f(\zeta_k)\Delta z_k$$

  • 计算

    • $\int_C f(z)\mathrm{d}z=\int_a^b f(z(t))z’(t)\mathrm{d}t$

    • $\int_C f(z)\mathrm{d}z=\int_C u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+i\int_C v\mathrm{d}y+u\mathrm{d}y$

• 闭路变形原理

  区域内一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要变形过程中不经过不解析的点。

• 复合闭路定理

  设$C$为多连通域$D$内的一条简单闭曲线,$C_1,C_2,…,C_n$是在C 内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以$C1​,C2​,…,Cn​$为边界的区域全含于$ D$ 中(见图 3.5),如果 $f(z)$在$D$内解析,那么

  • $$f(z)\mathrm{d}z=\displaystyle ∑_{k=1}^{n}\oint_{C_k}f(z)\mathrm{d}z$$

    其中$C$及$C $均取正方向;

• $\ f(z)dz=0$,这里$\Gamma$为由$C$及$C_k (k=1,2,…,)$所组成的复合闭路,其方向是$C $为逆时针方向, $C_k$为顺时针方向

  

• 柯西-古萨定理

  又叫做柯西积分定理

  如果函数$f(z)$在单连通域 $B$内处处解析,那末函数$f(z)$沿 $B$内的任何一条封闭曲线$C$的积分为零:

  $$\oint_C f(x) dz=0$$

  柯西积分公式

• 如果函数$f(z)$在区域 $D$内处处解析,$C$为$D$内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于$D$,$z_0$为$C$内任一点，则：

  $$f(z_0)=\frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz$$

• 解析函数的高阶导数

  解析函数 $f(z)$的导数仍为解析函数,它的$n$阶导数为：

  $$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z \\(n=1,2,...)$$

  其中$C$ 为在函数$f(z)$的解析区域 $D$内围绕$z$ 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部全含于$D$.

• 柯西不等式

  设函数$f(z)$在$|z-z_0|<R$区域内解析，且$|f(z)\leq M$在$|z-z_0|<R $内成立,则下列不等式成立：

  $$|f^{n}(z_0)|\leq \frac{n! M}{R^n},n=1,2,\cdots$$

• 刘维尔定理

  设$f(z)$在全平面上解析，并且有界，则$f(z)$为常数。

• 调和函数&共轭调和函数

  • 调和函数

    有二阶连续偏导，且满足拉普拉斯方程的函数被称为调和函数

    $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}=0$$

    或者下面的表述：

    $\nabla^2f=0$,即$\Delta f=0$

    如果二元实函数$H(x,y)$在区域$D$内有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程$\Delta H=0$,则称$H(x,y)$为区域$D$内的调和函数

• 共轭调和函数

  对于$u(x,y)$,如果存在$v(x,y)$,使得$f(z)=u+vi$为解析函数，则$v$为$u$的共轭调和函数。（共轭调和函数并不是对称的，上述定义中，$u$未必是$v$的共轭调和函数）

• 共轭调和函数和解析函数的性质

  $f(z)=u(x,y)+iu(x,y)$在区域$ D$内解析 $$\iff$$ 在区域$D$内$v(x,y)$是$u(x,y)$的共轭调和函数

• 求解共轭调和函数

  有以下三种思路：

  • 偏积分法

    根据柯西-黎曼方程，$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$,于是对$y$积分，得到

    $$v=\int \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm {d}y+g(x) \tag{1}$$

    其中$g(x)$是一个关于$x$的函数。

    再由柯西-黎曼方程，

    $$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \tag{2}$$

  • 不定积分法

    根据柯西-黎曼方程，

    $$f(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} \tag{3}$$

    或者

    $$f(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial v}{\partial y}\tag{4}$$

    在$(3)$或者$(4)$中任意一个式子，把$x$和$y$用下面的方程代换为$z$:

    $$
    \begin{cases}
    x=\frac{z+\bar{z}}{2}\\
    y=\frac{z-\bar{z}}{2i}
    \end{cases}
    $$

    $$\left\{\begin{aligned} x=\frac{z+\bar{z}}{2}\\ y=\frac{z-\bar{z}}{2i}\\ \end{aligned} \right.$$

    就可以得到一个$U(z)$或者$V(z)$，此时只需要对$U(z)$或者$V(z)$积分，即可得到$f(z)$,有了$f(z)$,$v(z)$也就可以得到了 。

  • 全微分法

    这个方法类似于微分方程中的全微分法，考察观察能力。

    在已经知道$u(x,y)$的情况下，对$u$全微分，结合柯西-黎曼方程，得到下面的式子：

    $$\mathrm{d}v=\frac{\partial v}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{d}y=-\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}y$$

    如果可以观察出$-\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}y$是哪个二元函数的全微分，就可以直接得出答案。