收敛性

定理3.4

Jacobi迭代的迭代矩阵$B$ 的无穷范数小于$1$，则Gauss-Seidel迭代法收敛。

定理3.5

Jacobi迭代的迭代矩阵$B$ 的1范数小于$1$，则Gauss-Seidel迭代法收敛。

定理3.6

若系数矩阵A对称，对角线元素$a_{ii}>0$,则$Jacobi$迭代法的充分必要条件是$A$和$2D-A$均正定。

定理3.7

若系数矩阵$A$对称正定，则$Gauss-Seidel$迭代法收敛。

定理3.8

若系数矩阵$A$对称正定，则不带松弛因子的迭代法 $\boldsymbol x_{k+1}=(I-A)\boldsymbol x_k+b$收敛的充要条件是A的所有特征值 $\lambda_i \in (0,2)$

定理3.9

若系数矩阵$A$对称正定，则带松弛因子的迭代法 $\boldsymbol x{k+1}=(I-\omega A)\boldsymbol x_k+\omega b$ (即Richard迭代)收敛的充要条件是 $0<\omega <\dfrac{2}{\lambda{\max}(A)}$

而无需考虑$A$的特征值范围。

定理3.11

若系数矩阵 $A$对称正定，则JOR迭代法 $\boldsymbol x{k+1}=(I-\omega D^{-1}A)\boldsymbol x_k+\omega D^{-1} b$收敛的充要条件是 $0<\omega <\dfrac{2}{\lambda{\max}(D^{-1}A)}$

定理3.12

若系数矩阵$A$正定，对角线元素$a_{ii}>0$,则$SOR$和$SSOR$迭代法的充分必要条件是正定且 $0<\omega <2$

定理3.13

不可约弱对角占优矩阵或者严格对角占优矩阵是非奇异的，且对角元一定不为$0$.

定理3.14

若$A$为不可约弱对角占优矩阵或者严格对角占优矩阵，且其对角线元素为正，则A为正定阵。

定理３.１５

若$A$为不可约弱对角占优矩阵或者严格对角占优矩阵，则$Jacobi$迭代和$Gauss-Seidel$迭代收敛。

定理3.16

若$A$为不可约弱对角占优矩阵或者严格对角占优矩阵，则松弛因子$0<\omega\le 1$的SOR迭代法收敛。

最佳松弛因子

Richardson