基本假设

企业生产的产品是同质无差异的；
企业进行的是产量竞争，也就是说，企业的决策变量为产量
企业的行动顺序是有先后的，且其先后顺序由外生给定，即，模型为动态的。

Stackelberg模型属于完全信息动态博弈，因此必须用子博弈精炼Nash均衡来描述模型的解。可以用逆向归纳法求解。

求解分析

假设企业$1$先选择自己的战略——产量 $q_1\in Q_1=[0,+\infty]$ ,因此企业 $1$ 称为领头者(leader),企业 $2$ 称为尾随者(follower).采用逆向归纳法的思路是，企业 $2$ 在行动的时候能够观测到企业 $1$ 的产量 $q_1$，从而企业 $2$ 会根据$q_1$选择自己的产量以使自己的利润最大，因此企业$2$的战略应该是从 $Q_1$ 到 $Q_2$ 的函数，即 $q_2:Q_1\to Q_2$。而企业 $1$ 的战略就是简单的选择自己的产量 $q_1$，但是企业 $1$ 在选择 $q_1$ 的时候知道企业 $2$ 将根据自己的产量来选择，即企业 $1$ 在选择 $q_1$ 的时候知道企业 $2$ 的战略 $q_2(q_1)$，即企业 $1$即是选择 $q_1$使得 $\pi_1(q_1,q_2(q_1))$最大。

假设市场的需求函数为 $P=a-(q_1+q_2)$,两个企业有相同且不变的单位成本 $c$，则企业 $i$ 的利润函数为:

$\pi_i(q_1,q_2)=q_i(a-q_i-q_j-c)$

其中 $i,j=1,2\quad i \neq j$

采用逆向归纳法，尾随者企业 $2$ 的最优化问题为:

$\max_{q_2>0}\pi_2(q_1,q_2)=q_2(a-q_1-q_2-c)$

由最优化一阶条件：

$\tag{8.1} q_2(q_1)=\frac{1}{2}(a-q_1-c)$

为了保证最优内点存在，这里假设 $q_1<a-c$ ，上式就是企业$2$的最佳战略。企业 $1$ 根据这个做决策，他面对的最优化问题为:

$\begin{align} \max \pi_1(q_1,q_2(q_1))&=q_1[a-q_1-q_2(q_1)-c]\\ &=q_1[a-q_1-\frac{1}{2}(a-q_1-c)-c]\\ &=-\frac{1}{2}q_1^2+\frac{1}{2}(a-c)q_1 \end{align}$

由最优化一阶条件：

$q_1^*=\frac{1}{2}(a-c)$

带入8.1,得到

$q_2^*=\frac{1}{4}(a-c)$

分析

因此子博弈精炼Nash均衡为 $ \Big(\frac{1}{2}(a-c),\frac{1}{4}(a-c)\Big)$ ，与静态博弈——Cournot模型的均衡产量 $\Big(\frac{1}{3}(a-c),\frac{1}{3}(a-c)\Big)$ 相比，可以发现，企业 $1$ 先行动，产量增多，企业 $2$ 后行动，产量变少。

再看利润，Stackelberg模型中先行动的企业 $1$ 得到的利润是 $\frac{1}{8}(a-c)^2$ ，大于 Cournot模型中的利润 $\frac{1}{9}(a-c)^2$；

后行动的企业 $1$ 得到的利润是 $\frac{1}{16}(a-c)^2$ ，小于 Cournot模型中的利润 $\frac{1}{9}(a-c)^2$；

这说明在Stackelberg模型中领头者具有“先动优势”，虽然尾随着具有信息优势，但是这种优势并没有给他带来收益，反而损害了他的利益。

在 Stackelberg 模型中领头者获得的均衡利润要大于Coummot 均衡中的利润，说明了在一定情形下承诺的价值。在Stackelberg 模型中领头者的产品一旦生产出来，就变成了一种沉淀成本，无法改变，因而尾随者不得不认为领头者的威胁是可置信的。如果领头者并没有实际生产而只是威胁宣称他将生产 $\frac{1}{2}(a-c)$，尾随者是不会相信他的威胁的。因为如果尾随者相信领头者的威胁，选择产量 $\frac{1}{4}(a-c)$，则领头者就会根据Cournot模型中的反应函数，选择 $R_1(q_2)= \frac{1}{2}(a-q_2-c)= \frac{3}{8}(a-c)$产量。
从 Stackelberg 模型的子博弈精炼 Nash 均衡，我们也可以进一步地理解 Nash 均衡与子博弈精炼 Nash 均衡的区别。按Nash 均衡的定义，上述 Stackelberg 模型还有其他的 Nash 均衡，如 Cournot 均衡 $(\frac{1}{3}(a-c),\frac{1}{3}(a-c))$，也是一个 Nash 均衡。因为给定企业 $1$ 选择产 $\frac{1}{3}(a-c)$ ,企业 $2$ 的最优选择为 $\frac{1}{3}(a-c)$ ；同理给定企业 $2$ 选择 $\frac{1}{3}(a-c)$ ，企业 $1$ 的最优选择也为 $\frac{1}{3}(a-c)$ 。但这个 Nash 均衡不是子博弈精炼均衡，因为 $q_2(q_1)=\frac{1}{3}(a-c)$ 并不在所有子博弈上构成 Nash 均衡。事实上 $q_2(q_1)=\frac{1}{3}(a-c)$ 是一个不可置信的威胁，如果企业 $1$ 选择的产量不为 $\frac{1}{3}(a-c)$ ，企业 $2$ 也不会选择 $\frac{1}{3}(a-c)$ 。

固定成本

此外，在前面的讨论中，我们都没有考虑企业生产中的固定成本。企业的固定成本虽然对企业的产量决策(即如果生产，生产多少)不会产生直接影响，但却会影响企业的进入决策(即是否生产)。下面通过一个算例分析固定成本对企业决策及最终均衡的影响。

假设市场的需求函数仍然为 $P=a-(q_1+q_2)$，企业 i(i=1，2) 生产的固定成本为 K_i，平均单位变动成本为 c_i (这里假设c_i 为常数)。仿前面的计算，可以得到:企业 $1$ 和企业 $2$ 的Stackelberg均衡产量分别为 $\frac{a-2c_1+c_2}{2}$ 和 $\frac{a+2c_1-3c_2}{2}$ ；Stackelberg均衡利润分别为 $\frac{(a-2c_1+c_2)^2}{8} -K_1$ 和 $\frac{(a+2c_1-3c_2)^2}{16} -K_2$ 。对于企业 $2$，如果生产的固定成本 $K_2$ 过大，比如 $K_2> \frac{(a+2c_1-3c_2)^2}{16}$ ，那么企业 $2$ 生产就会亏本。因此，企业 $2$ 就不会生产。当企业 $2$ 不生产时，如果企业 $1$ 按前 $\frac{a-2c_1+c_2}{2}$生产，则其均衡利润为 $\frac{(a-c_1)^2+(c_2-c_2)^2}{4}-K_1$,。现在的问题是：

企业 $2$ 由于生产的固定成本过高而不生产，企业 $1$ 是否可以将自己视为市场上唯一的生产者即垄断者进行决策呢?

如果企业 $1$ 进行垄断决策，则选择垄断产量 $\frac{a-c_1}{2}$ ,但是企业 $1$ 是否可以获得垄断利润 $\frac{a-c_1}{4}-K_1$ 呢？

企业 $1$ 是否能够得到垄断利润，还取决于企业 $2$ 如何反应! 当企业 $1$ 选择垄断产量 $\frac{a-c_1}{2}$ 时，如果企业 $2$ 决定生产，则会根据反应函数

$q_2(q_1)=\frac{1}{2}(a-c_2-q_1)$

选择产量 $\frac{a+c_1-2c_2}{4}$ ，从而得到利润 $\frac{(a+c_1-2c_2)^2}{16}$ 如果 $c_2>c_1$ ,，则此时企业 $2$ 的利润就会大于前面计算出来的均衡利润 $\frac{(a+2c_1-3c_2)^2}{16} -K_2$ 。同时，如果 $\frac{(a+c_1-2c_2)^2}{16} -K_2>0$ ，那么企业 $2$ 就会选择生产，并生产出 $\frac{a+c_1-2c_2}{4}$ 的产品。
当企业 $1$ 选择垄断产量 $\frac{a-c_1}{2}$ 时，并导致企业 $2$ 生产 $\frac{a+c_1-2c_2}{4}$ 的时候，企业不仅得不到所谓的垄断利润 $\frac{a-c_1}{4}-K_1$ ，而且实际得到的利润垄断利润 $\frac{(a-c_1)(a-3c_1+2c_2)}{8}-K_1$ 小于前面计算出来的均衡利润 $\frac{(a-2c_1+c_2)^2}{8} -K_1$ 。

因此，即使企业 $2$ 因为固定成本过高而不生产，企业 $1$ 也不能将自己视为市场上唯一的生产者而进行垄断决策。这里，企业 $2$ 虽然不生产，但由于企业 $2$ 可以随时择机进入，致使企业 $1$ 不能独占市场，进行垄断生产。