扩展式博弈

扩展式博弈包含以下要素:

参与人集合 $\Gamma={1,2,\cdots,n}$;

参与人的行动顺序，即每个参与人何时行动；

每个参与人行动时面临的决策问题，包括参与人行动时可供他选择的行动方案及他所了解的信息；

参与人的支付函数，即博弈结束时每个参与人得到的博弈结果。

博弈树及其表示

博弈树是由“结”和“有向枝”构成的“有向树”，最上方的节点是空心圆，表示博弈的开始，其余的节点用实心圆表示，结（node)分为：

初始结或根（root）；
决策结（root）；
终点结（terminal node）

信息集

在博弈树中，参与人 $i$ 的一个信息集（用 $I_i$ 表示）是参与人 $i$ 决策结的一个集合，且满足下列两个条件：

(1) $I_i$ 中的每个决策树都是参与人 $i$ 的决策结；
(2) 当博弈达到信息集 $I_i$ (即博弈到达 $I_i$ 中的某个决策结点)时，参与人 $i$ 知道自己位于信息集 $I_i$ 的节点上，但是不知道自己位于 $I_i$ 中的哪个节点上。

在决策树上，我们将位于同一个信息集上的节点用虚线连接起来。

假设

博弈的结构和参与人完全理性是共同知识

“完美记忆”假设

即假设参与人不会忘记以前知道或者做过的事情。

扩展式博弈的战略及其Nash均衡

用 $Hi$ 表示参与人 $i$ 的信息集 $I_i$ 的集合，即 $H_i={I_i}$ ;用 $A_i(I_i)$ 表示参与人 $i$ 在信息集上的行动集，$A_i(H_i)$ 表示参与人 $i$ 在所有信息集上的行动集，即 $A_i(H_i)=\bigcup\limits{I_i\in H_i} A_i(I_i)$ ,那么参与人 $i$ 的一个纯战略 $s_i$就是从信息集 $H_i$ 到行动集合 $A_i(H_i)$ 的一个映射关系，即：

$s_i=H_i\rightarrow A_i(H_i)$

其中，对于 $\forall I_i \in H_i,s_i(I_i)\in A_i(I_i)$

在以后的讨论中，用参与人 $i$ 在每个信息集 $I_i$ 上的行动集 $A_i(I_i)$ 笛卡尔积来表示参与人 $i$ 的战略集 $S_i$，即

$S_i=\prod _{I_i\in H_i}A_i(I_i)$

对于扩展式博弈，博弈中可能发生的每一件事件序列，都可以用博弈树中的一条从初始结点（或者根）到终结点之一的由枝形成的路径表示，比如

$x_1\to x_2\to x_3 \to x_7$

扩展式博弈中，参与人的每一个战略组合与博弈树中的一条路径对应。

需要注意的是，每个战略组合都有唯一与之对应的路径，但是一个路径所对应的战略组合未必唯一。

扩展式博弈和战略式博弈的比较

扩展式博弈是动态模型，战略式博弈是静态模型。

由于Nash均衡只是一个静态的解的概念，所以扩展式博弈，需要先给出来博弈的战略式描述，才可能得到博弈的Nash均衡。

对于给定的扩展式博弈，总存在唯一的战略式博弈与之对应，但是对于给定的战略式博弈，会存在多个扩展式博弈与之对应。