对称正定矩阵的若干性质

有下列性质:

$A$ 是正定矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 的所有顺序主子式均为正
$A$ 是正定矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 的所有主子式均为正
$A$ 是正定矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 的所有特征值均为正
$A$ 是正定矩阵 $\Leftrightarrow$ 存在主对角元素全为正的三角矩阵 $R$ ,使得$A=RR^T$
$A$ 是正定矩阵 $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $C$ ,使得$A=C^TC$
$A$ 是正定矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 的所有主对角元素都是正数，且 $\max\limit {i\neq j}{|a{ij}|}<\max\limits i {a{ii}}$

Cholesky 分解定理

若矩阵 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 对称正定，则存在一个对角元均为正数的下三角矩阵 $L\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ,使得
$A=LL^T$
上式被称为Cholesky分解，其中 $L$ 被称为 $A$ 的 Cholesky因子。

平方根法分解

来自Chat GPT的四阶矩阵示例:

下面是一个四阶对称正定矩阵的Cholesky平方根法求解过程，目标是求解下三角矩阵 ($L$)，使得 $A = LL^T$。

矩阵 (A)
考虑以下矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 16 & 24 & 32 & 8 \\ 24 & 64 & 80 & 16 \\ 32 & 80 & 128 & 32 \\ 8 & 16 & 32 & 16 \end{pmatrix}$
步骤 1：计算下三角矩阵 (L)
我们将下三角矩阵 (L) 表示为：
$L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} & 0 \\ l_{41} & l_{42} & l_{43} & l_{44} \end{pmatrix}$
计算 (L) 的元素

计算$l_{11}$：
$l_{11} = \sqrt{A_{11}} = \sqrt{16} = 4$

计算 $l_{21}$：
$l_{21} = \frac{A_{21}}{l_{11}} = \frac{24}{4} = 6$

计算 $l_{31}$：
$l_{31} = \frac{A_{31}}{l_{11}} = \frac{32}{4} = 8$

计算 $l_{41}$：
$l_{41} = \frac{A_{41}}{l_{11}} = \frac{8}{4} = 2$

计算 $l_{22}$：
$l_{22} = \sqrt{A_{22} - l_{21}^2} = \sqrt{64 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

计算 $l_{32}$：
$l_{32} = \frac{A_{32} - l_{31}l_{21}}{l_{22}} = \frac{80 - 8 \cdot 6}{2\sqrt{7}} = \frac{80 - 48}{2\sqrt{7}} = \frac{32}{2\sqrt{7}} = \frac{16}{\sqrt{7}}$

计算 $l_{42}$：
$l_{42} = \frac{A_{42} - l_{41}l_{21}}{l_{22}} = \frac{16 - 2 \cdot 6}{2\sqrt{7}} = \frac{16 - 12}{2\sqrt{7}} = \frac{4}{2\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

计算 $l_{33}$：
$l_{33} = \sqrt{A_{33} - l_{31}^2 - l_{32}^2} = \sqrt{128 - 8^2 - \left(\frac{16}{\sqrt{7}}\right)^2} = \sqrt{128 - 64 - \frac{256}{7}} = \sqrt{64 - \frac{256}{7}} = \sqrt{\frac{448 - 256}{7}} = \sqrt{\frac{192}{7}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

计算 $l_{43}$：
$l_{43} = \frac{A_{43} - l_{31}l_{41} - l_{32}l_{42}}{l_{33}} = \frac{32 - 8 \cdot 2 - \left(\frac{16}{\sqrt{7}}\right) \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)}{l_{33}} = \frac{32 - 16 - \frac{32}{7}}{\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{7}}} = \frac{16 - \frac{32}{7}}{\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{7}}} = \frac{\frac{112 - 32}{7}}{\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{7}}} = \frac{\frac{80}{7}}{\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{7}}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

计算 $l_{44}$：
$l_{44} = \sqrt{A_{44} - l_{41}^2 - l_{42}^2 - l_{43}^2} = \sqrt{16 - 2^2 - \left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)^2 - \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{16 - 4 - \frac{4}{7} - \frac{100}{3}} = \sqrt{12 - \frac{4}{7} - \frac{100}{3}}$
需要统一分母，计算后可以得到最终结果。

最终的下三角矩阵 (L)
经过上述计算，得到了矩阵 $L$的元素。最终矩阵 $L$ 形状为：
$L = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 2\sqrt{7} & 0 & 0 \\ 8 & \frac{16}{\sqrt{7}} & \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{7}} & 0 \\ 2 & \frac{2}{\sqrt{7}} & \frac{10}{\sqrt{3}} & l_{44} \end{pmatrix}$