图像直方图和累计直方图

直方图: 横坐标为统计样本，每个柱条(bin)的宽度代表一段取值范围，纵坐标为其对应的某个属性的度量

图像直方图和累计图像直方图

函数h代表统计个数，函数g的值是某个位置的像素值。

图像直方图 $h(g)$ 定义为数值为 $g$ 的像素值的个数, 其统计意义为图像中随机一个像素它具有像素值$g$ 的概率：

$p(g)=\dfrac{h(g)}{N}$

计算的时候，计算复杂度和像素个数成正比，所以是$O(N)$.

累计直方图代表像素值小于某个值的像素个数。

$H(g)=\sum\limits_{x=0}^{g}h(x)=满足条件g(i,j)\le g的像素个数$

概率密度函数和累积分布函数

概率密度函数为 $p(g)=\tfrac{h(g)}{N}$

累计分布函数 $F(g)=P(g(i,j)\le g)=\tfrac{H(g)}{N}$

一些性质

均值 (Mean):描述图像的亮度；

方差 (Variance):描述图像的对比度；

中值 (Median):描述图像的亮度，比均值更加鲁棒；

图像直方图变换

点操作

仅基于输入的单点像素值进行映射，将其映射到一个新的像素值；对某一点像素值的映射只与它本身有关，与其他位置的像素值无关。

$v_{new}=f(v)\\ b(i,j)=f(a(i,j),\boldsymbol p)\quad [i,j] \in [1,\cdots,I]\times[1,\cdots,J]$

其中，输入像素值为 $a(i,j)$ ,输出像素值为 $b(i,j)$ ,操作函数为 $f$,操作函数参数为 $\boldsymbol p$.

示例及效果：

$\begin{aligned}f(a,\boldsymbol{p})&=\quad k+m a\quad\boldsymbol{p}=[k,m]^\top\\b(i,j)&=\quad k+m a(i,j)\end{aligned}$

变换后的新图像的均值和方差分别为:$\mu_b=k+m \mu_a\quad\sigma_b=\left|m\right|\sigma_a$

参数改变对于图像的影响如下:

k>0 ,增大亮度；反之减小亮度。
$01$增大对比度
$m=-1$ 亮变暗，暗变亮，对比度反转。

概率密度函数的转变

假定我们通过函数$f$把进行了图像变换，现在来讨论一下，原来图像的概率密度函数 $h_a(a)$ 和$f$ 函数作用后的概率密度函数$h_b(b)$ 的关系。

根据映射前和映射后区域面积相等，即 $h_a(a)\mathrm da=h_b(b)\mathrm db$

可以得到

$\tag{2.2} \begin{align} h_b(b)&=\tfrac{h_a(a)}{|\tfrac{\mathrm db}{\mathrm da}|}\\ &=\tfrac{h_a(a)}{f'(a)}\\ &=\tfrac{h_a(f^{-1}(b))}{f'(f^{-1}(b))} \end{align}$

直方图均衡化(Histogram Equalization)

其目标是使得直方图的每个柱条内的高度，即对应每个像素值的像素个数相等。即：

$h_b(b)=const$

假设该常数为 $k$ ,将 $h_b(b)=k$ 带入式（2.2）可得：

$\tag{2.3} \mathrm d b=\frac{1}{k}h_a(a)\mathrm d a$

这是一个微分方程，加上边界条件

$\tag{边界条件} f(0)=0\\ f(255)=255$

我们可以求得式（2.3）的解为

$\tag{解} b=f(a)=\frac{1}{k}H(a)+C\\ k=\frac{N-H(0)}{255}\\ C=-H(0)\frac{255}{N-H(0)}$

这里面的 $H(0)$ 即累计图像直方图