Game Theory-Solution to Mixed Strategy Nash Equilibrium Part 1

混合战略Nash均衡回顾

定义2.7
在有限$n$人战略式博弈 $G=<\Gamma ;S1,S_2,\cdots,S_n ;u_1,u_2,\cdots,u_n >$ 中，混合战略组合 $\sigma^=(\sigma_1^,\sigma_2^,\cdots,\sigma_n^)$为一个Nash均衡，当且仅当$\forall i \in \Gamma ,\forall \sigma_i \in \Sigma_i$ ,有$v_i(\sigma_i^*,\sigma{-i}^)\ge vi(\sigma_i,\sigma{-i}^)$

定义2.8
在有限$n$人战略式博弈 $G=<\Gamma ;S1,S_2,\cdots,S_n ;u_1,u_2,\cdots,u_n >$ 中，混合战略组合 $\sigma^=(\sigma_1^,\sigma_2^,\cdots,\sigma_n^)$为一个Nash均衡，当且仅当$\forall i \in \Gamma ,\forall \sigma_i \in \Sigma_i$ ,有$v_i(\sigma_i^*,\sigma{-i}^)\ge vi(s_i,\sigma{-i}^)$

关于参与人$i$的最优混合战略，有如下命题成立:

命题2.1
在参与人 $i$ 的最优混合战略$\sigma_i^=(\sigma_i^{1},\sigma_i^{2},\cdots,\sigma_i^{K_i})$中，对$\forall \sigma_i^{j*}>0$,有:

$$v_i(s_i^j,\sigma_{-i})=v_i(\sigma_i^*,\sigma_{-i})$$

命题2.1的含义如下:

如果 $\sigmai^*$ 是参与人 $i$ 在给定对手选择混合战略 $\sigma{-i}$ 下的最优混合战略，若混合战略规定参与人 $i$ 以正概率选择纯概率 $si^k$ ，则 $s_i^k$ 一定也是给定 $\sigma{-i}$ 下的一个最优战略，也就是说，所有以正概率进入最优混合战略的纯战略都是参与人 $i$ 的最优战略，并且参与人 $i$ 在所有这些纯战略之间一定是无差异的，即如果 $\sigma_i^{1}>0,\cdots, \sigma_i^{k}>0$ ,则有:

$$v_i(s_i^1,\sigma_{-i})=v_i(s_i^2,\sigma_{-i})=\cdots=v_i(s_i^k,\sigma_{-i})=v_i(\sigma_i^*,\sigma_{-i})$$

反之，如果参与人 $i$ 有$n$个纯战略是最优的，那么这些纯战略上的任何一个概率分布都是参与人 $i$ 的最优混合战略。

证明如下:

首先，如果 $\sigma_i^=(\sigma_i^{1},\sigma_i^{2},\cdots,\sigma_i^{K_i})$ 是一个纯战略，那么 $\sigma_i^*$ 的分量中只有一个为 $1$，其余均为 $0$ ,命题2.1显然成立。

考虑一般情况，如果 $\sigma_i^=(\sigma_i^{1},\sigma_i^{2},\cdots,\sigma_i^{K_i})$ 不是一个纯战略，那么 $\sigma_i^$ 的分量中至少含有两个或者两个以上严格大于0的分量，不妨设 $\sigma(s^{j})$ 和 $\sigma(s_i^{h})$ 大于 $0$ ，由于这两个量是随意选取的，我们只需要证明 $\sigma(s^{j})$ 和 $\sigma(s_i^{h*})$ 均满足命题2.1即可，也就是:

$$\begin{cases} v_i(s_i^{j},\sigma_{-i})&=v_i(\sigma_i^*,\sigma_{-i}) \\ v_i(s_i^{h},\sigma_{-i})&=v_i(\sigma_i^*,\sigma_{-i}) \end{cases}$$

即，只需要证明 $vi(s_i^{j},\sigma{-i})=vi(s_i^{h},\sigma{-i})$ 即可。我们采用反证法。假设 $vi(s_i^{j*},\sigma{-i})\neq vi(s_i^{h*},\sigma{-i})$ ,由于希望战略 $s^{j}$ 和战略 $s^{h}$ 是随意选取的，我们就进一步假设 $vi(s_i^{j},\sigma{-i})> vi(s_i^{h},\sigma{-i})$ ，希望推出与“$\sigma_i^*$ 是参与人 $i$ 的最优混合战略”这一前提相悖的结论。为此我们构造出一个参与人 $i$ 的混合战略 $\sigma_i’=(\sigma_i^{1’},\sigma_i^{2’},\cdots,\sigma_i^{K_i’})$ ,满足以下性质:

(1). 对 $\forall k \in {1,2,\cdots,K_i}$ ,若 $k\neq j $ 且 $k\neq h $ ,则 $\sigma_i^{k’}=\sigma_i^{k*}$ ;

(2). $\sigma_i^{j’}=\sigma_i^{j}+\sigma_i^{h},\quad \sigma_i^{h’}=0$

上述两条说明，与最优混合战略 $\sigma_i^$ 相比，在混合战略 $\sigma_i^{‘}$ 中,只有战略 $s^{j}$ 和战略 $s^{h}$ 对应的概率不一样，其余均一样。由*期望效用的公式可得:

$$\begin{align} v_i(\sigma_i',\sigma_{-i}')-v_i(\sigma_i^*,\sigma_{-i}^*) &=\sum\limits _{k=1}^{K_i}\sigma_i^{k'}v_i(s_i^{k},\sigma_{-i})-\sum\limits _{k=1}^{K_i}\sigma_i^{k*}v_i(s_i^{k},\sigma_{-i})\\ &=\sigma_i^{j'}v_i(s_i^{j},\sigma_{-i})+\sigma_i^{h'}v_i(s_i^{h},\sigma_{-i})-\sigma_i^{j*}v_i(s_i^{j},\sigma_{-i})-\sigma_i^{h*}v_i(s_i^{h},\sigma_{-i})\\ &=(\sigma_i^{j*}+\sigma_i^{h*})v_i(s_i^{j},\sigma_{-i})+0 \cdot v_i(s_i^{h},\sigma_{-i})-\sigma_i^{j*}v_i(s_i^{j},\sigma_{-i})-\sigma_i^{h*}v_i(s_i^{h},\sigma_{-i})\\ &=\sigma_i^{h*}v_i(s_i^{j},\sigma_{-i})-\sigma_i^{h*}v_i(s_i^{h},\sigma_{-i})\\ &=\sigma_i^{h*}(v_i(s_i^{j},\sigma_{-i})-v_i(s_i^{h},\sigma_{-i}))\\ &>0 \end{align}$$

由此，我们推出了$\sigmai^*$ 并不是参与人 $i$ 的最优混合战略，这和假设矛盾，所以 $v_i(s_i^{j},\sigma{-i})=vi(s_i^{h},\sigma{-i})$ 成立，即在$\sigma_i^=(\sigma_i^{1},\sigma_i^{2},\cdots,\sigma_i^{K_i})$ 不是一个纯战略的情况下，命题2.1也成立。

最优反应及最优反应引理

上述内容所讨论的都是对于单个参与人 $i$ 的情况，是单个参与人的最优混合战略。我们没有提及Nash均衡，因为Nash均衡是针对多个参与人而言的，所以下面的几个概念/定理说明了多个参与人的时候，混合战略Nash均衡的定义。

最优反应
我们用 $p^*(q)$表示在给定参与人 $2$ 的混合战略 $\sigma_2=(q,1-q)$ 的情况下，参与人 $1$ 的最优反应。

支集
对于给定的参与人 $i$ 的混合战略 $\sigma_i$ ,称 $\sigma_i$ 中所有大于0的分量对应的纯战略组合的集合为 $\sigma_i$ 的支集，记为 $S_i(\sigma_i)$ ,即 $S_i(\sigma_i)={s_i \in S_i | \sigma_i(s_i)>0}$

最优反应的引理
在有限 $n$ 人战略式博弈 $G=<\Gamma ;S1,S_2,\cdots,S_n ;u_1,u_2,\cdots,u_n >$ 中，混合战略组合 $\sigma^=(\sigma_1^,\sigma_2^,\cdots,\sigma_n^)$为一个Nash均衡，当且仅当$\forall i \in \Gamma $ , $\sigma_i^ $的支集 $S_i(\sigma_i^)$ 中的每一个战略都是给定 $\sigma{-i}^* $ 下的最优反应。

等值法求解 $2\times 2$ 战略式博弈

等值法基于下面的假设:在最优混合战略中，大于0的分量对应的纯战略的期望支付相等。

		$q$	$1-q$
		$b_1$	$b_2$
$p$	$a_1$	$x_1,y_1$	$x_2,y_2$
$1-p$	$a_2$	$x_3,y_3$	$x_4,y_4$

假定 $\sigma_1=(p,1-p)$，$\sigma_2=(q,1-q)$ 为参与人 $1$和参与人 $2$ 的混合战略， $\sigma_1,\sigma_2$ 为博弈的混合战略Nash均衡，不失一般性，假设 $p \in (0,1),q \in (0,1)$ ,因此 $1-p \in (0,1),1-q \in (0,1)$ ，根据最优战略的性质，有:

$$%\left\{ \begin{cases} v_1(a_1,\sigma_2)=v_1(a_2,\sigma_2)\\ v_2(b_1,\sigma_1)=v_2(b_2,\sigma_2) \end{cases} %\right.$$

即:

$$\begin{cases} qx_1+(1-q)x_1=qx_3+(1-q)x_4\\ py_1+(1-p)y_3=py_2+(1-p)y_4 \end{cases}$$

求解上述方程可得:

$$\begin{cases} p=\dfrac{y_3-y_4}{y_2-y_1+y_3-y_4}\\ q=\dfrac{x_2-x_4}{x_3-x_1+x_2-x_4} \end{cases}$$

对于参与人大于 $2$ 的博弈问题，无法直接利用”等值法”求解。

支撑求解法

相关概念

支撑

对于给定的混合战略组合 $\sigma$ , $\sigma$ 的支撑，记为 $S(\sigma)$，指的是参与人按照 $\sigma$ 选择战略的时候，所有参与人支集 $Si(\sigma_i)={s_i\in S_i|\sigma_i(s_i)>0}$ 的直积，即 $S(\sigma)=\prod\limits{i\in \Gamma}{s_i \in S_i|\sigma_i(s_i)>0}$

举例:

比如在两人战略式博弈中，

$$S_{1}=\left\{s_{1}^{1},\quad s_{1}^{2},\quad s_{1}^{3},\quad s_{1}^{4}\right\},\quad S_{2}=\left\{s_{2}^{1},\quad s_{2}^{2},\quad s_{2}^{3}\right\}$$

设

$$\sigma_1=(0.1,\quad 0.5,\quad 0,\quad 0.4),\quad \sigma_2=(0.6,\quad 0,\quad 0.4 )$$

所以有:

$$S_1(\sigma_1)=\{s_1^1,\quad s_1^2,\quad s_1^4\},\quad S_2(\sigma_2)=\{s_2^1,\quad s_2^3\}$$

战略组合 $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2)$ 的支撑为:

$$S(\sigma)=\{s_1^1, s_1^2,s_1^4\}\times\{s_2^1, s_2^3\} =\{(s_1^1,s_2^1),\quad (s_1^1, s_2^3),\quad (s_1^2, s_2^1),\quad (s_1^2,s_2^3),\quad (s_1^4,\quad s_2^1),\quad (s_1^4,\quad s_2^3)\}$$

具体方法

对于给定的有限$n$人战略式博弈 $G=<\Gamma ;S1,S_2,\cdots,S_n ;u_1,u_2,\cdots,u_n >$ 中，假设混合战略组合 $\sigma^=(\sigma_1^,\sigma_2^,\cdots,\sigma_n^)$为一个Nash均衡，此时考察 $\sigma$ 的支撑 $S(\sigma)=\prod \limits {i\in \Gamma}S_i(\sigma_i^)$ ,对于$\forall i \in \Gamma,\sigma _i^= (\sigma _i^(s_i^1), \sigma _i^(s_i^2),\quad \cdots\quad \sigma _i^(s_i^{K_i}))$，不失一般性，设$\sigma _i^(s_i^1),\quad \sigma _i^(s_i^2),\quad \cdots\quad \sigma _i^(s_i^{K_i})>0$ ，则参与人 $i$ 关于战略组合 $\sigma^$的支集为 $S_i(\sigma_i^)={s_i^1,\cdots,s_i^{k_i}}$ ，（注意是小k）由最优反应的引理可得:

$$\left\{ \begin{align} \sum\limits_{s_{-i}\in S_{-i}}(\prod\limits_{j\in \Gamma,j\neq i}\sigma_j^*(s_j))\cdot u_i(s_i^1,s_{-i}) &= \mathbf v_i \tag{1}\\ \sum\limits_{s_{-i}\in S_{-i}}(\prod\limits_{j\in \Gamma,j\neq i}\sigma_j^*(s_j))\cdot u_i(s_i^2,s_{-i}) &= \mathbf v_i \tag{2}\\ & \vdots\\ \sum\limits_{s_{-i}\in S_{-i}}(\prod\limits_{j\in \Gamma,j\neq i}\sigma_j^*(s_j))\cdot u_i(s_i^{k_i},s_{-i}) &= \mathbf v_i \tag{$k_i$}\\ \sum\limits_{j=1}^{k_i}\sigma_j^*(s_i^j)&=1 \tag{$k_i+1$} \end{align} \right.$$

上述一共 $k_i+1$ 个未知数 [即 $\sigma _i^(s_i^1), \sigma _i^(s_i^2),\quad \cdots\quad \sigma _i^*(s_i^{K_i})$] 和 $k_i+1$ 个方程，考虑一般性，就可以解出所有的未知数，即混合最优战略。

例子(Page 43例2.10)

	$A(\sigma_2^A)$	$B(\sigma_2^B)$	$C(\sigma_2^C)$	$D(\sigma_2^D)$
$U(\sigma_1^U)$	$0,2$	$6,1$	$2,3$	$4,6$
$L(\sigma_1^L)$	$4,3$	$2,6$	$1,2$	$6,1$

在上述博弈问题中，很显然无法通过重复剔除劣战略达到纯Nash战略均衡。因此不存在其制程中只包含参与人一个战略的Nash均衡。因此，在上述博弈问题中，可能的支撑如下:

$$%\begin{align} \\1个2\times 4战略组合:\\ \{U,L\}\times\{A,B,C,D\}\\ \\4个2\times 3战略组合:\\ \{U,L\}\times\{A,B,C\},\qquad \{U,L\}\times\{B,C,D\},\\ \{U,L\}\times\{A,C,D\},\qquad \{U,L\}\times\{A,B,D\}\\ \\6 个2\times 2战略组合:\\ \{U,L\}\times\{A,B\},\qquad \{U,L\}\times\{A,C\},\qquad \{U,L\}\times\{A,D\},\\ \{U,L\}\times\{B,C\},\qquad \{U,L\}\times\{B,D\},\qquad \{U,L\}\times\{C,D\} \\ %\end{align}$$

下面我们逐一判断这些战略组合:

$2\times 4战略组合:{U,L}\times{A,B,C,D}$

对于参与人1或者2，其战略组合的支集中每个纯战略获得的期望支付相同，由此我们可以列出来方程:

$$\begin{cases}v_1(U,\sigma_2)=v_1(L,\sigma_2)=v_1(\sigma_1,\sigma_2)=v_1\\v_2(\sigma_1,A)=v_2(\sigma_1,B)=v_2(\sigma_1,C)=v_2(\sigma_1,D)=v_2(\sigma_1,\sigma_2)=v_2\end{cases}$$

即：

$$\begin{cases} &6\sigma_{2}^{B}+2\sigma_{2}^{C}+4\sigma_{2}^{D}=\upsilon_{1}\\&4\sigma_{2}^{A}+2\sigma_{2}^{B}+\sigma_{2}^{C}+6\sigma_{2}^{D}=\upsilon_{1}\\&2\sigma_{1}^{U}+3\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&\sigma_{1}^{U}+6\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&3\sigma_{1}^{U}+2\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&6\sigma_{1}^{U}+\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&\sigma_{2}^{A}+\sigma_{2}^{B}+\sigma_{2}^{C}+\sigma_{2}^{D}=1\\&\sigma_{1}^{L}+\sigma_{1}^{U}=1 \end{cases}$$

上述方程中，显然，由于我们的前提就是混合战略，排除了纯战略，故未知数都严格大于零，考虑到上述方程组中3~6个方程的特点，如果有解，则 $\sigma_1^U=\sigma_1^L=0$ ,所以上述方程不存在正数解，即 ${U,L}\times{A,B,C,D}$ 不可能成为博弈的均衡支撑。

$2\times 3$战略组合

同理，利用对于参与人1或者2，其战略组合的支集中每个纯战略获得的期望支付相同这一性质，我们列出来$2\times 3$战略组合${U,L}\times{A,B,C}$的方程：

$$\begin{cases} &6\sigma_{2}^{B}+2\sigma_{2}^{C}=\upsilon_{1}\\&4\sigma_{2}^{A}+2\sigma_{2}^{B}+\sigma_{2}^{C}=\upsilon_{1}\\&2\sigma_{1}^{U}+3\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&\sigma_{1}^{U}+6\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&3\sigma_{1}^{U}+2\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&\sigma_{2}^{A}+\sigma_{2}^{B}+\sigma_{2}^{C}=1\\&\sigma_{1}^{L}+\sigma_{1}^{U}=1\end{cases}$$

各个等式之间依然存在矛盾问题， 所以上述方程组没有正数解，即$2\times 3战略组合:{U,L}\times{A,B,C}$不可能成为博弈的均衡支撑。

基于同样的原因，其他的$2\times 3$ 战略组合:${U,L}\times{A,B,D},\quad{U,L}\times{B,C,D},\quad {U,L}\times{A,C,D},\quad$都不是博弈的均衡支撑。

接下来从 $2\times 2$ 的战略组合中寻找可能的均衡支撑。

$2\times 2战略组合:{U,L}\times{A,B}$

$$\begin{cases}&6\sigma_{2}^{B}=\upsilon_{1}\\&4\sigma_{2}^{A}+2\sigma_{2}^{B}=\upsilon_{1}\\&2\sigma_{1}^{U}+3\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&\sigma_{1}^{U}+6\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&\sigma_{1}^{U}+\sigma_{1}^{L}=1\\&\sigma_{2}^{A}+\sigma_{2}^{B}=1\end{cases}$$

上述方程组，可以求得唯一的正数解，即：

$$\begin{cases} \sigma_1^U=\frac{3}{4}\\ \sigma_1^L=\frac{1}{4}\\ \sigma_2^A=\sigma_2^B=\frac{1}{2}\\ v_1=3\\ v_2=\frac{9}{4} \end{cases}$$

但是，此时如果我们让参与人 $1$ 采用这个解，但是让参与人 $2$ 采用纯战略$C$，此时参与人 $1$ 和 $2$ 的期望收益变为:

$$v_1(\sigma_1,C)=\frac{7}{4}\\ \text{However,}\quad v_2(\sigma_1,C)=\frac{11}{4}>\frac{9}{4}$$

故，参与人 $2$ 必定会偏离这个解，因此，${U,L}\times{A,B}$ 不是博弈的均衡支撑。

$2\times 2战略组合:{U,L}\times{A,C}$

当支撑是${U,L}\times{A,C}$的时候，仿照上例，得到方程为:

$$\begin{cases}&2\sigma_{2}^{C}=v_{1}\\&4\sigma_{2}^{A}+\sigma_{2}^{C}=v_{1}\\&2\sigma_{1}^{U}+3\sigma_{1}^{L}=v_{2}\\&3\sigma_{1}^{U}+2\sigma_{1}^{L}=v_{2}\\&\sigma_{1}^{L}+\sigma_{1}^{U}=1\\&\sigma_{2}^{A}+\sigma_{2}^{C}=1\end{cases}$$

它的解是：

$$\begin{cases} \sigma_1^U=\sigma_1^L=\frac{1}{2}\\ \sigma_2^A=\frac{1}{5}\\ \sigma_2^C=\frac{4}{5}\\ v_1=\frac{8}{5}\\ v_2=\frac{5}{2} \end{cases}$$

但是我们再考虑一种情况，给定 $\sigma_1=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ ，让参与人 $2$ 去选择纯战略 $B$ ，则此时，$v_2(\sigma_1,B)=v_2(\sigma_1,D)=\frac{7}{2}$,即此时参与人 $2$ 选择纯战略的支付大于在所求解均衡中的支付，即 ${U,L}\times{A,C}$ 不可能成为博弈的均衡支撑。

$2\times 2战略组合:{U,L}\times{A,D} 和{U,L}\times{C,D}$

和之前的情况一样，求解出来上述均衡支撑之后，可以找到不属于均衡支撑的纯战略，使得期望支付更大，所以这两种情况排除。

$2\times 2战略组合:{U,L}\times{B,D}$

列出来方程组如下:

$$\begin{cases} &6\sigma_{2}^{B}+4\sigma_{2}^{D}=\upsilon_{1}\\&2\sigma_{2}^{B}+6\sigma_{2}^{D}=\upsilon_{1}\\&\sigma_{1}^{U}+6\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&6\sigma_{1}^{U}+\sigma_{1}^{L}=\upsilon_{2}\\&\sigma_{1}^{L}+\sigma_{1}^{U}=1\\&\sigma_{2}^{B}+\sigma_{2}^{D}=1 \end{cases}$$

上述方程组的解为

$$\begin{cases} \sigma_1^U=\sigma_1^L=\frac{1}{2}\\ \sigma_1^B=\frac{1}{3}\\ \sigma_1^D=\frac{2}{3}\\ v_1=\frac{14}{3}\\ v_2=\frac{7}{2} \end{cases}$$

参与人 $2$ 在均衡中的所得均大于选择纯战略 $A$ 或 $C$ 的所得，所以上述解构成混合战略Nash均衡：

$$(\sigma_1,\sigma_2)=((\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(0,\frac{1}{3},0,\frac{2}{3}))$$

合理分析以减少运算

从上述例子中可以看出来，如果无法事先确定好支撑，就只能逐一计算，导致计算量十分巨大。因此我们可以进行如下分析，进而排除不合理的支撑，减少计算量。

	$A(\sigma_2^A)$	$B(\sigma_2^B)$	$C(\sigma_2^C)$	$D(\sigma_2^D)$
$U(\sigma_1^U)$	$0,2$	$6,1$	$2,3$	$4,6$
$L(\sigma_1^L)$	$4,3$	$2,6$	$1,2$	$6,1$

分析1

第一种分析方法思路是，如果某一个支撑是最后的Nash均衡，那么这个均衡中的各个战略必定不存在严格的占优行为。

考虑一种战略组合 ${U,L}\times{A,D}$,假定它是我们要求解的均衡支撑。那么参与人 $1$ 的两个战略 $ U$ 和 $ L$ 之间必定不存在占优行为，即不管参与人 $2$ 选择什么战略，那么参与人 $1$ 的两个战略 $ U$ 和 $ L$ 没有明显的占优，我们不能把其中一个战略剔除掉。

明显，无论参与人 $2$ 在支撑集 ${A,D}$上有任何的概率分布，参与人 $1$ 选择战略 $L$ 获得的期望支付大于选择战略 $U$ 的期望支付，所以，在这种战略组合中，存在参与人 $1$ 的 $L$ 对 $ U$ 的占优，即战略组合 ${U,L}\times{A,D}$必定不是我们要找的均衡支撑！

同样的道理，战略组合 ${U,L}\times{B,C}$也不是我们要找的支撑。

分析2

第二种分析方法是通过构造不含有某一个战略的混合战略，彻底排除该战略。

构造出来参与人 $2$ 的一个不含战略 $A$ 的混合战略 $\sigma_2=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6})$ ,很显然，无论参与人 $1$ 选择战略 $U$ ,还是选择战略 $L$ ,参与人 $2$ 的期望支付总是大于选择纯战略 $A$ 的期望支付。更进一步，不管参与人 $1$ 的混合战略分布 $\sigma_1=(\sigma_1^U,\sigma_1^L)$如何取值，对于参与人 $2$ ，选择混合战略 $\sigma_2=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6})$ 总是优于选择纯战略 $A$.

即 $\sigma_2=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6})$ 对纯战略 $A$ 严格占优！

既然纯战略 $A$ 是参与人 $2$ 的严格劣战略，因此我们可以将纯战略 $A$ 从参与人 $2$ 的均衡战略支集中排除。

同样，我们可以构造出来参与人 $2$ 的一个不含战略 $C$ 的混合战略 $\sigma_2=(\frac{1}{3},\frac{1}{6},0，\frac{1}{2})$，这个战略对纯战略 $C$ 严格占优，因此可以把纯战略 $C$ 从参与人 $2$ 的均衡战略支集中排除。

因此，该博弈问题中的可能的均衡支撑只有 ${U,L}\times{B,D}$.