Probability Theory and Mathematical Statistics-一维随机变量及其分布

Gamma函数及其分布

Gamma函数及其性质

$$\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}{x^{\alpha-1}e^{-x}}\mathrm{d}x$$

性质如下:

• $\Gamma(1)=1$ $\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
• $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$ $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n!$ when $n$ is in $N$

Gamma分布

若随机变量X的密度函数为:

$$p(x)= \left\{ \begin{aligned} \dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1} \mathrm {e}^{-\lambda x}\mathrm dx ,x\ge0\\ 0,x<0 \end{aligned} \right.$$

记作$X\sim Ga(\alpha,\lambda)$

性质

• 数学期望$ E(X)=\dfrac{\alpha}{\lambda} $
• 方差$Var(X)=\dfrac{\alpha}{\lambda^2} $

Gamma分布的两个特例

当$\alpha=1$的时候，Gamma分布为指数分布

$$Ga(1,\lambda)=Exp(\lambda)$$

当$\alpha=\dfrac{n}{2},\lambda=\dfrac{1}{2}$的时候，Gamma分布为自由度为$n$的卡方分布

$$Ga(\dfrac{n}{2},\dfrac{1}{2})=\chi ^2(n)$$

$\chi ^2$分布的密度函数为

$$p(x) = \begin{cases} \dfrac{\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma(\frac{n}{2})}, & x > 0; \\ 0, & x \leq 0. \end{cases}$$

$n$是$\chi ^2$分布的唯一参数，称之为自由度，它可以取实数。

• $E(X)=n$

• $Var(X)=2n$

  $\beta$分布

  $$p(x)=\begin{cases}\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},&0<x<1;\\0,&\text{其他,}\end{cases}$$

K阶矩

我们称 $\mu^k=E(X^k)$ 为随机变量$X$的 $k$ 阶原点矩，称 $\nu^k=E[X-E(X)]^k$ 为随机变量 $X$ 的 $k$ 阶中心矩.他们的关系如下:

$$\nu_k=E[X-E(X)]^k=E(X-\mu_1)^k=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}\mu_i(-\mu_1)^{k-i}$$

变异系数

设随笔变量 $X$ 的二阶矩存在，则称比值

$$C_v(X)=\dfrac{\sqrt{Var(X)}}{E(X)}=\dfrac{\sigma(X)}{E(X)}$$

为 $X$ 的变异系数.

分位数与中位数

下侧分位数

设连续随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，密度函数为 $p(x)$ . 对任意 $p\in (0,1)$ ，称满足条件

$$F(x_p)=\int _{-\infty}^{x_p}p(x)\mathrm{d}x=p$$

的 $x_p$ 为此分布的 $p$ 分位数，又称为下侧 $p$ 分位数。

上侧分位数

设连续随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，密度函数为 $p(x)$ . 对任意 $p\in (0,1)$ ，称满足条件

$$1-F(x'_p)=\int _{x'_p}^{+\infty}p(x)\mathrm{d}x=p$$

的 $x_p$ 为此分布的上侧 $p$ 分位数。

上侧分位数和下侧分位数的转换关系如下:

$$x'_p=x_{1-p}\quad,x_p=x'_{1-p}$$

中位数

设连续随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$,密度函数为 $p(x)$.称 $p=0.5$ 时的 $p$ 分位数$x{0.5}$ 为此分布的中位数,即 $x{0.5}$ 满足

$$F(x_{0.5})=\int_{-\infty}^{0.5}p(x)\mathrm{d}x=0.5$$

偏度系数和峰度系数

偏度系数

设随机变量 $X$ 的三阶矩存在，则称比值

$$\beta_1=\frac{E[X-E(X)]^3}{[E(X-E(X))^2]^{3/2}}=\frac{\nu_3}{(\nu_2)^{3/2}}$$

为偏度系数，简称偏度。

偏度系数可以描述分布的形状特征，其取值的正负反映的是

• 当 $\beta_1 > 0$ 时，分布为正偏或右偏；
• 当 $\beta_1= 0$ 时，分布关于其均值 $ E(X) $ 对称;
• 当 $\beta_1 < 0$ 时，分布为负偏或左偏.
  譬如，正态分布 $N(\mu,\sigma ^2) $ 是关于其均值 $E(X)=\mu$ 是对称的，所以正态分布的偏度 $\beta_1= 0$

峰度系数

设随机变量 X 的四阶矩存在，则称比值

$$\beta_2=\frac{E[X-E(X)]^4}{[E(X-E(X))^2]^2}-3=\frac{\nu_4}{(\nu_2)^2}-3$$

为峰度系数，简称峰度。
一个分布的峰度系数 $\beta_2$ 反映了以下情况：

• 当 $\beta_2<0$ 时,则标准化后的分布形状比标准正态分布更平坦,称为低峰度.
• 当 $\beta_2=0$ 时,则标准化后的分布形状比标准正态相当0.
• 当 $\beta_2>0$ 时,则标准化后的分布形状比标准正态分布更尖峭,称为高峰度.